שווי הוגן של מכשירים פיננסיים

 

הצגת שווים של מכשירים פיננסיים במונחי שווי הוגן היא אחת הדרישות המרכזיות של התקינה הבינלאומית (IFRS). דרישה לחישוב שווי הוגן מופיעה, בין היתר, ב- IFRS 7 וב- IAS 32.

 

משרד הערכות השווי "שווי פנימי" מתמחה בביצוע ניתוחים כמותיים במכשירים פיננסיים ובמדידת סיכונים לצורכי יישום הוראות רגולטוריות, תקינה חשבונאית, פיתוח, יישום ותיקוף מודלים בתחומי ניהול הסיכונים תוך שימוש בטכניקות כמותיות לשערוך (כגון: סימולציית מונטה קרלו ועצים תרינומיים), VBA ויישומים פיננסיים. שווי פנימי גם עוסק בהעברת סמינרי הדרכה בארגונים הכוללים את הנושאים המתקדמים והאקטואליים ביותר בהערכות שווי וניהול סיכונים.

ל צד שערוך מכשירים פשוטים כגון איגרות חוב בריבית קבועה, איגרות חוב בריבית משתנה, פיקדונות, הלוואות עם ריבית קבועה/משתנה הנצברת לקרן, עסקאות אקדמה (FX Forward) ואופציות ונילה, שווי פנימי מבצע גם הערכות שווי של מכשירים אקזוטיים ולא סטנדרטיים כגון: ערבויות, הלוואות בעלים, עסקאות החלפה (IRS ו- SWAP), אופציות על עסקאות החלפה (Swaptions), איגרות חוב מובנות (Structured), נכסים מורכבים ואופציות אקזוטיות שונות. הערכת שוויים של מכשירים אקזוטיים אלה כרוכה בבניית מודלים ייחודיים, המתבססים על טכניקות נומריות מתקדמות. לשם תמחור אופציות אקזוטיות שווי פנימי עושה שימוש בשלושה מודלים עיקריים: (1) תמחור באמצעות מודל אנליטי; (2) תמחור באמצעות מודל של עצים תרינומיים; (3) תמחור באמצעות סימולציות מונטה קרלו (Monte Carlo Simulation), בעיקר עבור אופציות (Path Dependent) ששוויין ההוגן תלוי בשינוי במחיר גורם הסיכון לאורך חיי נכס הבסיס.

 

כאמור, אנו בשווי פנימי מבצעים הערכת שווי של נכסים מורכבים שונים לפי מספר מודלים המקובלים בתחום. להלן רשימה של 34 סוגים שונים של אופציות ונילה ואקזוטיות ששווי פנימי העריך את שוויין בשנים האחרונות על בסיס מודלים סגורים, מודלים גמישים, שיטות נומריות שונות וסימולציית מונטה קרלו:

  1. אופציות אירופאיות (European Options)- אופציות ונילה הניתנות למימוש רק במועד הפקיעה. אופציות אלו מספקות את הבסיס להערכת שוויין של אופציות אחרות. דוגמא לאופציות אירופאיות הן אופציות מעו"ף (מדד או שקל/דולר). לצורך הערכת שוויין של אופציות אירופאיות ניתן להשתמש במודל בלק אנד שולס, מודלים בינומיים/תרינומיים, שיטות נומריות מהסוג המכונה Finite Difference Method, סימולציית מונטה קרלו.

  2. אופציות אמריקאיות (American Options)- הקבוצה השנייה של אופציות המסווגות כאופציות ונילה הינה אופציות אמריקאיות. אופציות אלו נותנות למחזיק בהן את היכולת לממשן בכל עת עד לפקיעה (כולל). דוגמא לאופציות אמריקאיות הינם כתבי אופציה של חברות (Warrants). הסתמך על המשפט השני של רוברט מרטון (1973) האומר כי אם מתקיימות שלוש ההנחות של שוק הון מושלם, אי חלוקת דיבידנד ומחיר מימוש קבוע, הרי שלעולם אופציית רכש (Call) אמריקאית לא תמומש לפני מועד פקיעתה. נבהיר מראש כי אין זה הדין לגבי אופציית מכר (Put) אמריקאית. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה אמריקאית הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש במודלים בינומיים/תרינומיים או בשיטות נומריות מהסוג המכונה Finite Difference Method.

  3. אופציות ישראליות (Israeli Options)- אופציות ישראליות הן סוג של אופציה אמריקאית. אופציות ישראליות נותנות לכותב האופציה את היכולת לחסל מוקדם (early cancel) את האופציה על חשבון תשלום למחזיק האופציה ותוך שמירה על מאפיין המימוש מוקדם של מחזיק האופציה.

  4. אופציות בינאריות (Binary Options)- אופציות בינאריות מכונות גם אופציות דיגיטליות (Digital Options). בז'רגון המחשבים או בעגה המתמטית, מספר בינארי הוא מספר המקבל ערך של 0 או 1 ולא שום דבר אחר; במקרה של נגזרים, אופציה בינארית, המכונה לעתים גם אופציה דיגיטלית, הינה אופציה המשלמת נכס כלשהו אם היא פוקעת "בתוך הכסף", או שום דבר בכלל אם היא  פוקעת "בכסף" או "מחוץ לכסף". לצורך הערכת שוויין של אופציות בינאריות ניתן להשתמש במודל בלק אנד שולס, מודלים בינומיים/תרינומיים ושיטות נומריות מהסוג המכונה Finite Difference Method.

  5. אופציות בוחר (Chooser Options)- אופציות בוחר כשמן כך הן, כלומר, אופציה המאפשרת למחזיק בה לבחור האם האופציה הינה אופציית רכש (call) או אופציית מכר (put). מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית בוחר הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  6. אופציות ברמודיות (Bermudan Options)- אופציות ברמודיות דומות לאופציות אמריקאיות בכך שגם הן נותנות אפשרות של מימוש מוקדם (early exercise), אולם להבדיל מאופציות אמריקאיות המאפשרות מימוש מוקדם בכל עת על פני משך חייהן, אופציות ברמודיות מאפשרות מימוש מוקדם אך ורק במספר מועדי מימוש בדידים שנקבעו מראש או לחילופין בתקופת מימוש מסוימת הקצרה יותר ממשך חיי האופציה. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה ברמודית הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש במודלים בינומיים/תרינומיים או שיטות נומריות מהסוג המכונה Finite Difference Method. דוגמא לאופציות ברמודיות הינן אופציות לעובדים, מנהלים, דירקטורים ויועצים עם תקופת הבשלה (Vesting) שבה לא ניתן לממש או להעביר את האופציות.

  7. אופציות "המסתכלות אחורה" (Lookback Options)- אופציות "המסתכלות אחורה", המכונות גם אופציות בראיה לאחור (Hindsight Options), הינן סוג של אופציות תלויות-מסלול שבהן התזרים הסופי תלוי במחיר המקסימלי או המינימלי של נכס הבסיס במהלך חיי האופציה. המורכבות שנלווית לחישוב מסוג זה הינה שלא קיים מחיר מימוש ידוע וקבוע לאופציה ולמעשה מחיר המימוש נקבע כחלק מתהליך החישוב ולא כנתון. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציות על מחיר מקסימלי או מינימלי בראיה לאחור הרי שלצורך הערכת שוויין יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.  

  8. אופציות אסייתיות (Asian Options)- אופציות אסייתיות הן אופציות "המסתכלות אחורה", שבהן התזרים הסופי תלוי במחיר הממוצע של נכס הבסיס במהלך חיי האופציה. המורכבות שנלווית לחישוב מסוג זה הינה שלא קיים מחיר מימוש ידוע וקבוע לאופציה ולמעשה מחיר המימוש נקבע כחלק מתהליך החישוב ולא כנתון. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציות על מחיר ממוצע בראיה לאחור הרי שלצורך הערכת שוויין יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  9. אופציות הוואיות (Hawaiian Options)- אופציות הוואיות הן זן חדש יחסית של אופציות אקזוטיות, שילוב של אופציות אסייתיות ואופציות אמריקאיות. כאמור, אופציות אסייתיות הן סוג של אופציות תלויות-מסלול אשר "מסתכלות אחורה" בזמן ולוקחות את המחיר הממוצע של נכס הבסיס על מנת לקבוע את התזרים שלהן. אופציות אלו, על פי רוב, מתאימות יותר למשקיעים שרוצים לתפוס פוזיציה באמצעות אופציה, אך לא רוצים להיחשף לשינויים במחירי נכס הבסיס, בעיקר בסמוך למועד הפקיעה. אופציות אמריקאיות פירושן שמימוש מוקדם הינו אפשרי ושהן מאפשרות הלכה למעשה גמישות רבה יותר למשקיע. שילוב של שני סוגי האופציות הללו ביחד נותן לנו אופציה אסיית המאפשרת מימוש מוקדם. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה הוואית הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  10. אופציות מסוג אחוזון אלפא (Alpha Quantile Options)- אופציות תלויות-מסלול אשר מהוות הרחבה של אופציות "המסתכלות אחורה" (Lookback Options). התזרים מהאופציה מבוסס על תקופת "ראיה לאחור" (lookback period) שבה מחיר נכס הבסיס מבלה חלק מזמנו במהלך חיי האופציה. זאת בניגוד לאופציה "מסתכלת אחורה" סטנדרטית שהתזרים שלה מותנה בכך שנכס הבסיס יבלה תקופה מסוימת מעל רמת מחירים מסוימת כמוסכם בחוזה האופציה. אופציות מסוג אחוזון אלפא הינן זן חדש של אופציות אקזוטיות שטרם הופיע על בחדרי עסקאות. ההיגיון שעומד אופציות מסוג אחוזון אלפא הוא שהן מספקות תזרים הדומה בעוצמתו לזה של אופציות "מסתכלןת אחורה" סטנדרטיןת (הווה אומר, אופציות "מסתכלות אחורה" בעלות מחיר מימוש ידוע וקבוע). מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה מסוג אחוזון אלפא הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  11. אופציות חסם (Barrier options)- אופציות חסם הינן אופציות תלויות-מסלול, המגיעות בטעמים ובצורות שונים, אולם המאפיין העיקרי שלהן הוא שאופציות אלו 'מופעלות' (initiated) או 'מתחסלות' (exterminated) כאשר מחיר נכס הבסיס נוגע בחסם מסוים; כלומר, או שהן נכנסות לתוקף (knocked in) או שהן יוצאות מתוקף (knocked out). למרות שישנם פתרונות בצורה של קירובים מתמטיים, טובים יותר או טובים פחות, לבעיית אופציית חסם הרי שלצורך הערכת שווייה מומלץ להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  12. אופציות פריזאיות (Parisian Options)- אופציות פריזאיות, לעתים מכונות גם אופציות פרסיות (Persian options), הינן למעשה הכלאה בין אופציות חסם ואופציות אסייתיות. אופציות פריזאיות הינן אופציות שנכנסות לתוקף או יוצאות מתוקף בתנאי שמחיר נכס הבסיס במשך תקופת זמן מוגדרת לא יורד או לא עולה מעל לחסם מסוים. המורכבות שנלווית לחישוב מסוג זה הינה שהוא מתחלק לשני חלקים: חלק אחד עוסק בחישוב ההסתברות להגיע לתנאי הכניסה לתוקף או היציאה מתוקף של האופציה, בעוד החלק השני עוסק בחישוב שווי האופציה בתנאי שהאופציה נכנסה לתוקף או יצאה מתוקף עד למועד המבוקש ולבסוף, את התוצאה שקיבלנו בחלק השני של החישוב, אנו מכפילים בהסתברות להגעה לתנאי הכניסה לתוקף או היציאה מתוקף. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה פריזאית הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  13. אופציות אדוקו (Edokko Options)- אופציות אדוקו, המכונות גם אופציות טוקיו (Tokyo options), מרחיבות את מסגרת העבודה של אופציית החסם הסטנדרטית וגם את מסגרת העבודה של האופציה הפריזאית. למעשה, מדובר באופציה חדשה אשר פותחה על מנת להקטין את נחיצותה של פוזיציית Short פתוחה על נכס הבסיס כאשר האופציה נמצאת "בתוך הכסף" סמוך למועד הפקיעה, מנקודת מבטו של כותב אופציית חסם סטנדרטית. הואיל וניתן לבצע מניפולציות על המחירים עד מידה מסוימת, פותחו אופציות פריזאיות ואופציות פרסיות על מנת לצמצם את אותן מניפולציות. במילים אחרות, הצורך במוצרים פיננסיים שימנעו את אותן מניפולציות הוא זה שלמעשה הצית את פיתוחה של אופציית האדוקו. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית אדוקו או אופציית טוקיו הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  14. אופציות מופחתות (Amortized Options)- אופציות מופחתות, לעתים מכונות גם אופציות לוויתן (Whale options), היות והתזרים הצפוי (payoff) מהן, הינו ההפרש שבין המחיר הממוצע של נכס הבסיס על פני תקופת המיצוע ומחיר המימוש (שבדר"כ נקבע כאחוז מסוים ממחיר נכס הבסיס) כיחס מעל למחיר המימוש הממוצע. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה מופחתת הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  15. אופציות קליקיי (Cliquet Options)- אופציית קליקיי, המכונה גם אופציית רצ'ט (Ratchet Option) הינה סדרה של אופציות הנמצאות "בכסף", עם התחשבנות תקופתית, המאפסות כל תקופה את מחיר המימוש לרמת המחירים הנוכחית של נכס הבסיס, ובו בזמן האופציה "נועלות" את ההפרש שבין מחיר המימוש הישן ומחיר המימוש החדש ומשלמות אותו כתזרים במידה ומדובר בהפרש חיובי (קרי, רווח). הרווח יכול להיצבר עד לפקיעה הסופית או לחילופין להיות משולם בכל אחד ממועדי האיפוס (reset date). מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית קליקיי או אופציית רצ'ט הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  16. אופציות גביע (Coupe Options)- אופציות גביע ואופציות קליקיי (Cliquet Options) כמעט זהות באופיין מלבד הבדל עיקרי אחד. אם נחזור בחזרה להגדרה שלנו לאופציות קליקיי, ציינו כי לאופציות אלו ישנן מועדי איפוס תקופתיים שבהם הרווח ננעל לפי רמת המחירים הנוכחית של נכס הבסיס. התזרים לבעל אופציית קליקיי יכול להתקבל במועדים אלו שנקבעו מראש או לחילופין במועד הפקיעה. לאופציות גביע יש את אותם מאפיינים בדיוק, פרט לכך שבמקום לאפס את מחיר המימוש לרמת המחירים הנוכחית של נכס הבסיס, אופציית הגביע תאפס את מחיר המימוש לגרוע ביותר מבין רמת המחירים הנוכחית של נכס הבסיס ומחיר המימוש הראשוני. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית גביע הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  17. אופציות מורכבות (Compound Options)- אופציות מורכבות הן למעשה אופציות על אופציות. אופציות אלו בנויות באחת מארבע הדרכים הבאות: אופציית רכש (call) על אופציית רכש (call) הנקראת (CoC), אופציית רכש (call) על אופציית מכר (put) הנקראת (CoP), אופציית מכר (put) על אופציית מכר (put) הנקראת (PoP) ואופציית רכש (call) על אופציית רכש (call) הנקראת (PoC). אופציות מורכבות רגישות ביותר לתנודתיות של סטיית התקן של אופציית הבסיס (underlying option), מה שהופך אותן לבעייתיות יותר לגידור, יחסית לאופציות ונילה.

  18. אופציות תשלומים (Instalment Options)- אופציות תשלומים הינן הרחבה פשוטה של אופציית ונילה עם מאפיין נוסף של אפשרות מצד רוכש האופציה לשלם את הפרמיה של האופציה בתשלומים על פני תקופת זמן. ניתן להסתכל על אופציה שכזו כעל סדרה של אופציות על אופציות (Compound Options) כאשר באפשרותו של מחזיק האופציה לבטל את אופציית התשלומים בכל אחת מתקופות תשלומי הפרמיה.

  19. אופציות צעקה (Shout Options)- אופציות צעקה מאפשרות למחזיק האופציה "לצעוק" בנקודת זמן אחת או יותר במהלך חיי האופציה ולהתאים היבטים מוגדרים כמו למשל מחיר המימוש או הטווח לפקיעה. במובנים מסוימים, אופציות צעקה יכולות להיחשב כסוג של אופציות איפוס מאחר והן מאפשרות לאפס את מחיר המימוש לרמה מסוימת במועד מסוים. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית צעקה הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  20. אופציות להחלפת נכסים (Exchange Options)- אופציות להחלפת נכסים, המכונות גם אופציות ברירה, הוצגו לראשונה על ידי וויליאם מרגרייב, המכונה "ד"ר סיכונים" במאמרו המכונן משנת 1978. סוג זה של אופציות מאפשר למחזיק האופציה להחליף נכס אחד בנכס אחר ומשמש בין היתר בשוקי המט"ח, שוקי האג"ח ושוקי המניות.

  21. אופציות הניתנות להארכה (Extendible Options)- אופציות הניתנות להארכה, כשמן כך הן, אופציות המאפשרות למחזיק האופציה או לכותב האופציה להאריך את מועד פקיעתן. אופציות אלו הפכו פופולאריות יותר ויותר בשנים האחרונות, במיוחד עבור נכסי בסיס תנודתיים.

  22. אופציית על סלים (Basket Options)- הגדרות וסיווגים של אופציות מוצאים עצמם לעתים קרובות חופפים זה לזה, הואיל וניתן לסווג אופציות מסוימות תחת מספר קטגוריות שונות. הוא הדין לגבי אופציות על סלים. לעתים קרובות הן חופפות לאופציות נוספות כגון אופציות רכס הרים (Options Mountain Range) ואופציות קשת (Rainbow Options) בשל מאפיין ריבוי נכסי הבסיס שלהן. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה על סל הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  23. אופציות רכס הרים (Mountain Range Options)- בשנת 1998 ענקית השירותים הפיננסיים הצרפתית סוסייטה ז'נרל השיקה סוג חדש של אופציות תחת השם זה, כאשר למעשה מדובר בסדרה של אופציות תלויות-מסלול המורכבות מסל של נכסים. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופצית רכס הרים הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  24. אופציות נפוליאוניות (Napolean Options)- אופציות נפוליאוניות הוצגו על ידי בית ההשקעות גולדמן זאקס בשנת 2002 והם למעשה מוצרים מובנים הצמודים למניות אקזוטיות מסדרת "רכס ההרים" של סוסייטה ז'נרל. אופציות אלו, על פי רוב, מבוססות על ביצועיו של מדד מניות כלשהו וביצועיהן של המניות המרכיבות את אותו מדד. אופציות אלו בדרך כלל משלמות קופון קבוע ואת התשואה הגרועה ביותר של מדד המניות על פני תקופת זמן מוגדרת. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה נפוליאונית הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו. כמובן שדבר זה כרוך בפתרון בעיה רב-מימדית, לרוב באמצעות סימלוץ נכסים תוך שימוש בסימולציית מונטה קרלו ומשאבי מחשב גדולים.

  25. אופציות קשת (Rainbow Options)- קשת בענן לאחר יום גשום מורכבת מספקטרום רחב של אורות בצבעים שונים, ולמרות שאופציות קשת אינן צבעוניות כמו הקשת בענן, הן קיבלו את שמן מעצם העובדה שהן נכתבות על שני סוגים או יותר של נכסי בסיס ולא על נכס בסיס בודד. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית קשת הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  26. אופציות מרווח (Spread Options)- אופציות מרווח הינן מקרה פרטי של אופציות קשת, שהתזרים הצפוי מהן תלוי ב- 2 או 3 נכסי בסיס. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית מרווח הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  27. אופציות מרווח קיצוני (Extreme Spread Options)- כפי ששמן מרמז אופציות מרווח קיצוני הן אופציות מרווח בעלות מאפיין "קיצוני" מובנה, אולם למעשה, אופציות מרווח קיצוני הן יותר סוג של מספר אופציות "מסתכלות אחורה" משולבות יחדיו. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציית מרווח קיצוני הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש בשיטת הסימולציה של מונטה קרלו.

  28. אופציות דרכון (Passport Options)- אופציות דרכון, המכונות גם אופציות חופשה (Vacation Options), אינן אופציות שנותנות לך את הזדמנות לצאת לחופשה, אלא, אופציות על יתרת חשבון מסחר. לשם הדוגמא, נניח כי כי לבנק אלפא יש אופציית דרכון על חשבון מסחר כלשהו שנמכר לו על ידי בנק ביתא. אם אותו חשבון מסחר מייצר רווח, הרי שבנק אלפא לוקח את הרווח, ואילו בנק ביתא נושא בהפסד.

  29. אופציות רוסיות (Russian Options)- אופציות רוסיות הינן למעשה צורה כללית של אופציית מכר אמריקאית אינסופית (American perpetual put option) אשר הוצעה לראשונה על ידי שפ ושירייב (1993). סוג זה של אופציות ידוע גם בשם "אופציות צער מופחת" (Reduced Regret Options) הואיל והן מבטיחות למחזיק האופציה תשלום מינמלי בגובה m. התשלום נקבע כמחירה המקסימלי של  האופציה במהלך חייה (לנצח במקרה דנן שלפנינו), מהוון להיום והוא יכול להיות מועיל מאוד למחזיק האופציה. במובן מסוים, אופציה רוסית שקולה, מכל הבחינות הכלכליות האפקטיביות המהותיות, לאופציה "מסתכלת אחורה" אמריקאית אינסופית. נציין כי לא ניתן להעריך באמצעות מודל בלק אנד שולס אופציית מכר אמריקאית אינסופית, הואיל והמימוש ייתכן בכל נקודת זמן (קרי, אופציה אמריקאית) והיא איננה מוגבלת בזמן (קרי, אינסופית). על בסיס מודל בלק אנד שולס שווייה של אופציית מכר שאורך חייה הוא אינסופי שווה לאפס. דהיינו, שווי האופציה עולה עד נקודה מסוימת (תלוי בסטיית התקן ובשיעור הריבית חסרת הסיכון) ומשם מתחיל לרדת. מצב זה אינו סביר באופציה שלנו, כיוון, שלכולי עלמא, שווי האופציה צריך להיות גבוה יותר ככל שחולף הזמן (כי הרי ניתן לממשה בכל נקודת זמן). ההסבר לכך הוא שהואיל ותוחלת התשואה של נכס הבסיס תחת הנחת RNVA הינה חיובית, הרי שכל תקופה שעוברת פועלת לרעתו של מחזיק אופציית המכר, כיוון שההסתברות המצטברת הולכת וקטנה על פי מודל בלק אנד שולס והוא אינו יכול לממשה עד לפקיעה. כמו כן, ניתן לראות זאת כמקרה של put-call parity לאינסוף, הרי ששווייה של אופציית רכש אינסופית שווה לשווי המניה ומכאן ששווי אופציית המכר הוא אפס. מאחר ואין פתרון אנליטי לבעיית אופציה רוסית הרי שלצורך הערכת שווייה יש להשתמש במודלים בינומיים/תרינומיים או בשיטות נומריות מהסוג המכונה Finite Difference Method.

  30. אופציה לפירעון מוקדם ע"י מנפיק החוב (Callable)- הינה אופציית רכש (Call) בידי מנפיק (לווה) חוב (אג"ח או הלוואה) כלשהו, המקנה לו את הזכות לפרוע את החוב, טרם מועד הפדיון החוזי של החוב, במחיר שידוע וקבוע מראש. 

  31. אופציה לפירעון מוקדם ע"י מחזיק החוב (Puttable)- הינה אופציית מכר (Put) בידי מחזיק (משקיע) חוב (אג"ח או הלוואה) כלשהו, המקנה לו את הזכות לחייב את מנפיק החוב לפרוע את החוב, טרם מועד הפדיון החוזי של החוב, במחיר שידוע וקבוע מראש. 

  32. אופציה להארכת החוב ע"י מנפיק החוב (Extendible)- ינה אופציית מכר (Put) בידי מחזיק מנפיק (לווה) חוב (אג"ח או הלוואה) כלשהו, המקנה לו את הזכות להאריך את מועד הפדיון של החוב, חלף הפדיון החוזי. 

  33. אופציות קוואנטו (Quanto Options)- אופציה אקזוטית להשקעה בנכס הנסחר במטבע אחד והמרתו למטבע אחר (על פי רוב, למטבע המקומי) לפי שער חליפין ידוע וקבוע מראש.

  34. אופציות על מקסימום/מינימום (Option on the best/worst of two assets)- אופציה המקנה למחזיק בה לרכוש (באופציית רכש) או למכור (באופציית מכר) במחיר מימוש את הנכס שמחירו ביום הפקיעה גבוה מבין שני נכסי הבסיס.

 

​יצויין כי עבור כל האופציות הללו, השווי הכלכלי של האופציה הינו פונקציה עולה של תנודתיות נכס הבסיס ומשך חיי האופציה. שלושה פקטורים שנמצאו כחשובים בכל המחקרים החשובים בתחום המימון הכמותי.